この記事は前回の記事
の続きとなっています。式番号も引き継ぎ。外積ってなんだよと思った方は前回の記事を読んでもらえば分かる……かな？ ある程度の線型代数学の知識はあった方が理解は早いですが、無くても頑張れば行けると思います。
複素ベクトルの外積はどのように定義されそうか
外積とは実ベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ では反対称行列
$$\boldsymbol{A}=
\begin{pmatrix}
0 & -Z & Y\\
Z & 0 & -X\\
-Y & X & 0
\end{pmatrix} \tag{9}$$
の線型変換で表現されることを知った。では複素ベクトル空間 $\mathbb{K}^3$ ではどのように表現されるのか気になるところだろう。
（実）反対称行列の実態
今まで出てきたのは全ての成分が実数（又は0）である実反対称行列 $\boldsymbol{A}$ となっている。このとき対角成分 $(i=j)$ が全て0であり、かつそれ以外の成分が $A_{ij}=-A_{ji}$ を満たしている。これを成分を用いずに転置行列 $^t\boldsymbol{A}$ を用いて表現すると
$$^t\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A} \tag{11}$$
となる。つまり実反対称行列 $\boldsymbol{A}$ はエルミート積 $\langle\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle$ について
$$\langle\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{x},{} ^t\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}\rangle=-\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}\rangle \tag{12}$$
を満たす。
なおエルミート積とは簡単に言えば列ベクトルの内積 $\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}$ をエルミート形式 $\langle\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle$ で表したものである。ここで実ベクトルの内積の定義では $”,”$ を挟んだ左右で転置が起こり、複素ベクトルの内積ではその定義から $”,”$ を挟んだ左右で複素共役転置（随伴）が起こる。
よって(11)式を
$$\boldsymbol{A}^*:={}^t\bar{\boldsymbol{A}}=-\boldsymbol{A} \tag{11亜}$$
となるように複素共役転置行列（随伴行列） $\boldsymbol{A}^*$ と定義してあげれば、(12)式は
$$\langle\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A}^*\boldsymbol{y}\rangle=-\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}\rangle \tag{12亜}$$
のように自然な形で複素行列に拡張することができる。ここで用いた複素共役転置（随伴） $\boldsymbol{A}^*$ とはしばしばエルミートと呼ばれ、自身のエルミートが元と一致するような行列
$$\boldsymbol{A}^*:={}^t\bar{\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{A} \tag{13}$$
をエルミート行列（自己随伴行列）と言う。このときエルミート積 $\langle\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle$ について
$$\langle\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}\rangle \tag{14}$$
が成り立つ。先に求めた(11亜)式、(12亜)式とはこのエルミート行列と対になるように定められていることから、(11亜)式、(12亜)式は反エルミート行列などと名付けられる。なお実エルミート行列は対称行列と一致することからもこれらの定義の妥当性が窺える。
複素ベクトルの内積との比較
複素列ベクトル $\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle$ の内積は、
$$\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\boldsymbol{x}^*\boldsymbol{y}=\bar{x}^iy_i$$
と定義される。ここで $\boldsymbol{x}^*$ とは例により複素共役転置（随伴）としている。
この定義のように複素列ベクトルの外積を定義してやろうというのがここでの主張である。つまり複素列ベクトルの外積を $[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]$ と置いて、
$$[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]_z=\overline{X}y-Y\bar{x}$$
のように表されないかということである。今は取り敢えずこのように表されると仮定してみよう。つまり複素ベクトルの外積は(5)式を少し弄って
$$[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]=\boldsymbol{x}×\boldsymbol{y}=(\overline{Y}z-Z\bar{y})\boldsymbol{e}_x+(\overline{Z}x-X\bar{z})\boldsymbol{e}_y+(\overline{X}y-Y\bar{x})\boldsymbol{e}_z \tag{5亜}$$
と表されるものとする。これにより(6)式は
$$\begin{pmatrix}
0 & -Z\hat{\bar{・}} & \overline{Y}\hat{・}\\
\overline{Z}\hat{・} & 0 & -X\hat{\bar{・}}\\
-Y\hat{\bar{・}} & \overline{X}\hat{・} & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix} \tag{6亜}$$
となる。 $\hat{\bar{・}}$ は複素共役積演算とし、この複素共役は単なる積を表すことにする。具体的に $a\hat{\bar{・}}b=ab^*, a\hat{・}b=ab$ となる。これにより外積は反エルミート行列
$$\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{x}}=\begin{pmatrix}
0 & -Z\hat{\bar{・}} & \overline{Y}\hat{・}\\
\overline{Z}\hat{・} & 0 & -X\hat{\bar{・}}\\
-Y\hat{\bar{・}} & \overline{X}\hat{・} & 0
\end{pmatrix} \tag{9亜}$$
を用いて
$$[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]=\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{y} \tag{15}$$
と表される……、のならかなり簡略に表されるし、色々と都合が良さそうではないか。(5亜)式の定義であれば実際に反対称性
$$[\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}]=-[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]$$
が導かれ、これは反エルミート行列 $\boldsymbol{A}$ の線型変換による定義(9亜)式から
$$[\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}]=-\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{x}}^*\boldsymbol{y}$$
とも書き表される。
例 三重積
ベクトルの三重積は反エルミート行列を用いて簡単に示される。ベクトルの外積が
$$[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]=\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{y} \tag{15}$$
のように表されるとすると、スカラー三重積 $\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}×\boldsymbol{c})$ はエルミート積を用いて
$$\begin{align*}\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}×\boldsymbol{c})&=\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{c}\rangle\\
&=\langle\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{b}}^*\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle\\
&=\langle-\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}
\rangle\\
&= \langle-[\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}],\boldsymbol{c}\rangle\\
&= \langle[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{c}\rangle\\
&=(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\end{align*} \tag{16}$$
のように導かれる。ベクトル三重積はちょっと曲者で、ビネ・コーシーの恒等式
$$\sum_{1≤i≤j≤n}(a_ib_j-a_jb_i)(c_id_j-c_jd_i)=\left(\sum_{i=1}^na_ic_i\right)\left(\sum_{j=1}^nb_jd_j\right)-\left(\sum_{i=1}^na_id_i\right)\left(\sum_{j=1}^nb_jc_j\right) \tag{17}$$
が成り立つことを認める必要がある。この証明は Wikipedia等を読んでもらえれば分かると思うので既知なものとする。ビネ・コーシーの恒等式 $n=3$ のときにスカラー四重積が得られ、更にエルミート積を利用してベクトル三重積を導出することになる。どうも循環論法感が漂ってくる気がするが、厳密な証明ではないので目を瞑ろう！
よって $n=3$ のとき(17)式はスカラー四重積
$$(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d})=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d})-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})$$
を示すので、これをエルミート積を用いて式変形していこう。(17)式より以降実ベクトルでの議論は保障されているが、今はそんなことは考えない。取り敢えず複素ベクトルでも成り立つと仮定して式計算してみよう。
$$\begin{align*}(\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{c}×\boldsymbol{d})&=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d})-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\\
∴\langle[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],[\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}]\rangle&=\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{d}\rangle-\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{d}\rangle\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle\\
∴\langle[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{c}}\boldsymbol{d}\rangle&=(\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle\langle\boldsymbol{b},-\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle\langle\boldsymbol{a},),\boldsymbol{d}\rangle\\
∴\langle\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{c}}^*[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{d}\rangle&=(\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle\boldsymbol{b}^*-\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle\boldsymbol{a}^*),\boldsymbol{d}\rangle\\
\langle[-\boldsymbol{c},[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]],\boldsymbol{d}\rangle&=\\
\langle[[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{c}],\boldsymbol{d}\rangle&=
\end{align*}$$
両辺を $,\boldsymbol{d}\rangle$ で割ると
$$\begin{align*}∴\langle[[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{c}],&=\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle\boldsymbol{b}^*-\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle\boldsymbol{a}^*\\
({},[[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{c}]\rangle)^*&=\\
∴[[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{c}]&=(\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle\boldsymbol{b}^*-\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle\boldsymbol{a}^*)^*\\
∴[[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{c}]&=\langle\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}\rangle\boldsymbol{b}-\langle\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}\rangle\boldsymbol{a}
\end{align*} \tag{18}$$
が得られる。よって実ベクトルのときには(18)式は成り立つことが保障される。またスカラー四重積が複素ベクトルのときに成り立つのならば（そんな保障は一切ないので単なる戯言に過ぎない）(18)式は成り立つ。
またスカラー三重積を用いて
$$\boldsymbol{x}\cdot(\boldsymbol{x}×\boldsymbol{y})=\langle\boldsymbol{x},[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]\rangle=\langle[\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}],\boldsymbol{y}\rangle=0$$
が導かれる。これにより2つのベクトル $\boldsymbol{x},[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]$ が直交であることが分かる。よって複素ベクトルの外積のときにも直交性が示された。
最後に
この記事では前回に定義した実ベクトルの外積を自然？な形で複素ベクトルに拡張してみた。ベクトル三重積についてはスカラー四重積が複素ベクトルでも成り立つのか保障できないので、まあそういうものだと思ってもらえたら幸いである。
複素ベクトルの外積の定義は、反対称行列を自然に反エルミート行列へ拡張することで試みた。これが外積の性質の反対称性、直交性、双線型性を満たすというから、この複素ベクトルの外積の定義の妥当性が確認できた。
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