解析学

一次分数変換は複素数平面で直線や円に対応される。本記事では一次分数変換を何度も繰り返した場合を、不動点の個数に着目して考えてみよう。

比の値を複素数に拡張したときに、複素数平面上でどのように表現されるのか見ていこう。本記事では複素数平面上における比の値を考えるために、複素数平面の基本的な性質を見直していく。

本記事ではベクトル解析学において最も重要である微分作用素ナブラと、ラプラシアンの解説をしていく。初めはナブラを考えるために至った経緯を説明していき、次回では極座標系におけるラプラシアンを極座標系における基底を用いて導出していく。

曲面の法線ベクトルは勾配を計算することで求められる。このことからも勾配とは曲面の最も変化のある方向を向くベクトル（玉の転がる方向）である。本記事では数式を交えて法線ベクトルや接平面について解説していこう。

高校数学ではサラっと定義を流すだけで計算をさせられた人も多いと思う。極座標系と極方程式の関係や性質等伝えられたら幸いである。極座標系と極方程式が分からないのならそもそもベクトルや座標系の理解ができていないので注意されたい。

面は3次元ユークリッド空間において、2つの変数で表現される。このため面で積分する面積分とは、2つの変数 $u,v$ による座標系と、それに垂直な成分によって表現される。ここでは面上の点を斜交座標系を用いることで直感的に理解しやすいものにした。

高校数学では1つの変数による積分をしてきた。その積分する軸を曲線にしてみたというのが線積分である。本記事ではベクトル空間における直線のユークリッド距離から曲線の線積分を考えていこうと思う。少し複素線積分の内容に触れることになるが、特に身構える必要はない。

面積分はベクトル解析学を学ぶ学生が苦労するであろう三積分（体積分、線積分、面積分）の1つになっている。本記事では高校数学の積分から自然な形で面積分へ拡張していこう。最終的には一般の場合の面積分の式を導出していこうと思う。

本記事では極座標系におけるナブラを導出し、また極座標系の基底を用いて極座標系におけるラプラシアンの導出をしていこうと思う。ここでは他のサイトではなぜか見当たらないナブラの内積（のような計算）をすることでラプラシアンの導出に至っている。

高校数学では2次や3次などの整数次方程式しか扱われていなかった。そこで当時の私は非整数次方程式の場合には解はどうなるのか知りたく独自に編み出したのである。この記事では改めて整数次方程式の解の個数を複素数平面を用いて見ていこうと思う。