数学

射影演算子はその名の通り関数やベクトルをあるベクトル空間の元に射影するまた射影演算子のお互いに干渉し合わないという性質は線型演算子を分解するために重要な役割を果たす。本記事では射影演算子による作用の様子を図形的に見ていこう。

期待値はデカルト座標系において二次形式で表現される。本記事では二次形式を期待値と言う観点から図形的に解釈していき、なぜ対称行列で二次形式を表現するのかを詳しく解説していこう。他のサイトでは調べても出てこないが知る価値は十分にあろう。

ルジャンドル変換は初学者にとって敬遠されがちである。しかし本記事では接線の方程式という考え方を利用して、なるべく理解しやすくありながらも、接線に関する直線族や放物線の考え方といった微分幾何学の部分まで踏み込んだ内容にしてみた。

高校数学ではサラっと定義を流すだけで計算をさせられた人も多いと思う。極座標系と極方程式の関係や性質等伝えられたら幸いである。極座標系と極方程式が分からないのならそもそもベクトルや座標系の理解ができていないので注意されたい。

ちょっと前までは行列と言えばよく分からない諸計算をさせられる分野の代名詞であるかのように言われた。本記事では行列の煩わしい計算を忘れて、線形代数学の写像という立場から俯瞰的に行列を見ていこうと思う。

接線の方程式を陽関数における線座標系で表現することで、接線の切片を傾きによる関数によって評価することができる。本記事ではこの評価方法を図形的に解釈することでルジャンドル変換の定義へすんなりと理解できるように誘導する。

線型演算子は対角化することで、各成分における拡大率を測ることができる。そこで本記事では対角化するときに求める固有値を用いて、戦型演算子を分解していこう。これにより線型演算子が固有値によって各ベクトル空間に射影する様子が分かる。

中学数学では連立一次方程式を解くのに加減法や代入法で文字を減らしてきた。連立方程式の解法は概ねその操作を繰り返すことになるが、本記事では束の観点から連立方程式の解を解析してみようと思う。後半では線座標系について紹介している。

連立一次方程式の解は定値以外に媒介変数を用いることで複数存在することもある。本記事では解の形を判定する方法を紹介すると共に、解の種類によってデカルト座標系ではどのように描画されるのか説明していく。

殆どのサイトではガンマ関数の定義について詳しく解説されない。任意の実数による階乗はガンマ関数で表現され、それは指数を用いたなんとも強そうな積分で表されるとだけあるのだ。本記事ではガンマ関数の定義を自然数の階乗から自然に実数全体に拡張する。