数学

実ベクトルの外積は内積のように定義される。そこで本記事では更に複素ベクトルにまで自然に拡張してみようと思う。というのも反対称行列を反エルミート行列に変えただけで反対称性、直交性、双線型性は満たしているのである。

本記事ではベクトル解析学において最も重要である微分作用素ナブラと、ラプラシアンの解説をしていく。初めはナブラを考えるために至った経緯を説明していき、次回では極座標系におけるラプラシアンを極座標系における基底を用いて導出していく。

曲面の法線ベクトルは勾配を計算することで求められる。このことからも勾配とは曲面の最も変化のある方向を向くベクトル（玉の転がる方向）である。本記事では数式を交えて法線ベクトルや接平面について解説していこう。

一次分数変換は複素数平面で直線や円に対応される。本記事では一次分数変換を何度も繰り返した場合を、不動点の個数に着目して考えてみよう。

比の値を複素数に拡張したときに、複素数平面上でどのように表現されるのか見ていこう。本記事では複素数平面上における比の値を考えるために、複素数平面の基本的な性質を見直していく。

非調和比は一次分数変換同士の比の値として解釈することができる。本記事ではより調和性に視点を当てて非調和比について解説していこう。

期待値は二次形式によってデカルト座標系で描かれる。本記事以降で更に二次形式についてデカルト座標系でどのように描かれるのか詳しく見ていこう。まずは固有値が共に正である場合を考えてみる。

その利便性から隠れて外積を使ったことのある高校生は多いことだろう。この記事では外積の定義を多角的な視点から定義してみるために、外積を隅々まで観察してみた。線型代数学の知識があるとより理解がしやすいかもしれない。

高校数学では内積とは何か詳しく教えられず、ただ定義（しかし幾何ベクトルの内積に限定）通り計算させるだけという。ここではベクトルの内積が何なのかを少し深堀して紹介していて抽象的な場合を解説しているので、ある程度ベクトルに慣れていないと厳しいかもしれない。