ベクトル解析学

本記事ではベクトル解析学において最も重要である微分作用素ナブラと、ラプラシアンの解説をしていく。初めはナブラを考えるために至った経緯を説明していき、次回では極座標系におけるラプラシアンを極座標系における基底を用いて導出していく。

曲面の法線ベクトルは勾配を計算することで求められる。このことからも勾配とは曲面の最も変化のある方向を向くベクトル（玉の転がる方向）である。本記事では数式を交えて法線ベクトルや接平面について解説していこう。

面は3次元ユークリッド空間において、2つの変数で表現される。このため面で積分する面積分とは、2つの変数 $u,v$ による座標系と、それに垂直な成分によって表現される。ここでは面上の点を斜交座標系を用いることで直感的に理解しやすいものにした。

高校数学では1つの変数による積分をしてきた。その積分する軸を曲線にしてみたというのが線積分である。本記事ではベクトル空間における直線のユークリッド距離から曲線の線積分を考えていこうと思う。少し複素線積分の内容に触れることになるが、特に身構える必要はない。

面積分はベクトル解析学を学ぶ学生が苦労するであろう三積分（体積分、線積分、面積分）の1つになっている。本記事では高校数学の積分から自然な形で面積分へ拡張していこう。最終的には一般の場合の面積分の式を導出していこうと思う。

本記事では極座標系におけるナブラを導出し、また極座標系の基底を用いて極座標系におけるラプラシアンの導出をしていこうと思う。ここでは他のサイトではなぜか見当たらないナブラの内積（のような計算）をすることでラプラシアンの導出に至っている。