ベクトル

実ベクトルの外積は内積のように定義される。そこで本記事では更に複素ベクトルにまで自然に拡張してみようと思う。というのも反対称行列を反エルミート行列に変えただけで反対称性、直交性、双線型性は満たしているのである。

その利便性から隠れて外積を使ったことのある高校生は多いことだろう。この記事では外積の定義を多角的な視点から定義してみるために、外積を隅々まで観察してみた。線型代数学の知識があるとより理解がしやすいかもしれない。

高校数学では内積とは何か詳しく教えられず、ただ定義（しかし幾何ベクトルの内積に限定）通り計算させるだけという。ここではベクトルの内積が何なのかを少し深堀して紹介していて抽象的な場合を解説しているので、ある程度ベクトルに慣れていないと厳しいかもしれない。

正規演算子は部分固有空間が直交なので、直交スペクトル分解によって解析することが可能である。ところが非正規演算子は部分固有空間が直交でない可能性もあるので、本記事ではQR分解した後に双対基底を用いて恰も正規直交基底としてスペクトル分解する。