数学

正規演算子は部分固有空間が直交なので、直交スペクトル分解によって解析することが可能である。ところが非正規演算子は部分固有空間が直交でない可能性もあるので、本記事ではQR分解した後に双対基底を用いて恰も正規直交基底としてスペクトル分解する。

実ベクトルの外積は内積のように定義される。そこで本記事では更に複素ベクトルにまで自然に拡張してみようと思う。というのも反対称行列を反エルミート行列に変えただけで反対称性、直交性、双線型性は満たしているのである。

高校数学の分野間のとっかかりを無くしたい。大学の内容も含まれるので高校数学をある程度理解していることが前提である。高校生なら偏差値70程度ないと難しいかもしれない。大学数学を勉強し始めた人には丁度良いか少し簡単な難易度なっている。

線型演算子はベクトルや関数をある状態から別の状態へと変換する。そのときにどれだけ拡大されるのかを測る指標が固有値である。本記事では固有値の求め方と、次回以降で使われる固有空間という考え方について簡単に紹介する。