数学

高校数学では1つの変数による積分をしてきた。その積分する軸を曲線にしてみたというのが線積分である。本記事ではベクトル空間における直線のユークリッド距離から曲線の線積分を考えていこうと思う。少し複素線積分の内容に触れることになるが、特に身構える必要はない。

面積分はベクトル解析学を学ぶ学生が苦労するであろう三積分（体積分、線積分、面積分）の1つになっている。本記事では高校数学の積分から自然な形で面積分へ拡張していこう。最終的には一般の場合の面積分の式を導出していこうと思う。

楕円の方程式は二次形式を用いて表現される。本記事ではその二次形式で用いられる固有値の取り得る値の条件を拡張していくことで、楕円以外の図形を表現していこう。

本記事では極座標系におけるナブラを導出し、また極座標系の基底を用いて極座標系におけるラプラシアンの導出をしていこうと思う。ここでは他のサイトではなぜか見当たらないナブラの内積（のような計算）をすることでラプラシアンの導出に至っている。

高校数学では2次や3次などの整数次方程式しか扱われていなかった。そこで当時の私は非整数次方程式の場合には解はどうなるのか知りたく独自に編み出したのである。この記事では改めて整数次方程式の解の個数を複素数平面を用いて見ていこうと思う。

この記事はブラ-ケット記法で表現される期待値の紹介となっている。このシリーズを通して期待値を二次形式で表現することで図形的に解釈することができることを伝えていく。

本記事ではベクトル解析学において最も重要である微分作用素ナブラと、ラプラシアンの解説をしていく。初めはナブラを考えるために至った経緯を説明していき、次回では極座標系におけるラプラシアンを極座標系における基底を用いて導出していく。

高校数学では積分したり計算するのに意味もなく暗記させられたことだろう。本記事では逆三角関数と逆双曲線関数を用いることでその意味とやらを探っていこう。そのためには複素対数関数について知る必要があり、無理なく複素数平面にまで拡張してみたい。

高校数学では三角関数を学習し、複素数平面ではド・モアブルの定理を知ることになる。しかしこれらと複素指数関数の関係性や双曲線関数の存在については教えられずに過ごすことになる。本記事ではこれらの関係性を改めて確認していく内容となっている。

高校数学で習う複素数平面が何なのか解説してみた。よく複素数平面で表されるからといって複素数を実2次元ベクトルのように言う人がいるが、果たしてその根拠とは如何に。