線型代数学

連立一次方程式の解は定値以外に媒介変数を用いることで複数存在することもある。本記事では解の形を判定する方法を紹介すると共に、解の種類によってデカルト座標系ではどのように描画されるのか説明していく。

中学、高校では何気なく正規直交系の幾何ベクトル空間を扱ってきた。本記事では正規直交系から非直交系（斜交座標系）における幾何ベクトル空間について紹介していく。自在に幾何ベクトル空間を生成することで問題を簡単に考えることができる。

楕円の方程式は二次形式を用いて表現される。本記事ではその二次形式で用いられる固有値の取り得る値の条件を拡張していくことで、楕円以外の図形を表現していこう。

この記事はブラ-ケット記法で表現される期待値の紹介となっている。このシリーズを通して期待値を二次形式で表現することで図形的に解釈することができることを伝えていく。

正規演算子は部分固有空間が直交なので、直交スペクトル分解によって解析することが可能である。ところが非正規演算子は部分固有空間が直交でない可能性もあるので、本記事ではQR分解した後に双対基底を用いて恰も正規直交基底としてスペクトル分解する。

実ベクトルの外積は内積のように定義される。そこで本記事では更に複素ベクトルにまで自然に拡張してみようと思う。というのも反対称行列を反エルミート行列に変えただけで反対称性、直交性、双線型性は満たしているのである。

線型演算子はベクトルや関数をある状態から別の状態へと変換する。そのときにどれだけ拡大されるのかを測る指標が固有値である。本記事では固有値の求め方と、次回以降で使われる固有空間という考え方について簡単に紹介する。